Завтра тестирование, путаюсь в некоторых вещах, есть неуверенность в решенях.
Вот задачи в которых сомневаюсь.


Задача 1. Автомобильный номер состоит из четырёх цифр, начиная с 0001. Какова вероятность, что первый встреченный автомобиль будет иметь в номере две одинаковые цифры (А).

Мои мысли
Всего номеров: 9999
Номеров без повторяющихся цифр: 10*9*8*7=5040
Номеров, в которых все цифры будут одинаковые: 9
Номеров, в которых будут одинаковы 3и цифры: 4*9*9 = 324
Количество всех неблагоприятствующих номеров: 5040+9+324=5373
Количетсво номеров с двумя повторяющимися цифрами: 9999-5373=4626

P(A)=4626/9999.



Решение кажется громоздким. Может я изобретаю велосипед и есть способы проще?


Задача 2. На фабрике, изготавливающей болты, машины А, В, и С производят соответственно 25, 35 и 40% всех изделий. В их продукции качественные болты составляют 95, 94 и 98%.Выбранный из продукции болт оказался дефектным. Какова вероятность, что он был произведен машиной С (А).

Мои мысли
Все произведенно бракованных деталей: 25*0,05+35*0,06+40*0,02=4,15
Бракованных деталей с третьего завода: 40*0,02=0,8

Р(А)=0,8/4,15.

Верно решено?

Задача 3.10 команд 3и из которых лидеры, разбиваются на 2 группы по 5ть команд, какова вероятность, что в одной группе будет одна команда-лидер, в другой две команды лидера (А)?

Свои мысли
Я решал, что надо найти вероятность того, что все команды лидеры окажутся в одной группе и отнять эту верояность от 1 - получим искомую.

Всего вариантов: С(5 из 10) =10!/5!*5! =252
Далее кол-во вариантов выбора лидеров: С(3 из 5)=10
По классической формуле вероятности Р(неА) =10/252
Р(А)=242/252 = 96%, получается что - то слишком много, сомневаюсь из-за этого в правильности..


Задача 4. В студенческой группе 10 девушек и 6 юношей. Сколькими способами можно выбрать двух девушек?

Свои мысли

Задача немного смутила. Думаю количество юношей здесь дано для того, чтобы сбить с толку.
Ответ на задачу: С(2 из 6)=15.


Вот пока первая порция задачек на комбинаторику и классическую формулу вероятности.
Заранее спасибо за помощь и время!



UPD. Сейчас проходил очередной пробный тест попаась вот такая задачка:

В магазине имеются 20 телевизоров, из них 7 имеют дефекты. Найти дисперсию СВ X – числа телевизоров с дефектами среди выбранных 5.

не совсем представляю с чего начать. Составить ряд распределения, но какие будут вероятности, скажем для Х1? 7/20 что ли?

А что означает буковка (А) в скобках? Вообще можно условие по-разному трактовать, но учтите, что варианты 1122 Вы тоже сочли благоприятными.

Ответ верен, решение - нет. Что значит "произведено 4,15" - штук? Их там пилят? Используйте формулу Байеса.


Вы фиксировали группу и отобрали в неё трёх лидеров. Это не все варианты, благоприятные событию "три лидера попадут в одну (какую-то) группу".

4-я верно.

Спасибо!

1) А - событие, что в первый встреченный автомобиль будет иметь две повторяющиеся цифры в номере
Да, скогласен, условие не совсем корректно, но какое есть.
Если ещё исключать варианты с номерами ХХУУ уж очень объёмное получится решение.
А исключить их можно след. образом:
6*9*9 = 486 номеров, в таком случае: Р=4140/9999


2)

Р(Н3)=0,4
Р(Н3/А)=0,02

Р(Н3/А)=Р(Н3)*Р(А/Н3)/Р(А)=0,02*0,4/0,25*0,05+0,35*0,06+0,40*0,02=..


3)Как я понял нужно ещё учесть вариант, что 3ое могут оказаться в другой группе?
Т.е. 2*С(3 из 5)=2*10=20?

Чтобы не было громоздким, мне кажется, проще решать "в лоб".
Определить число мест, на которых стоят одинаковые цифры, умножить на число вариантов цифр и умножить на число вариантов оставшихся цифр.
Да, т.к. условие не доопределено, в начале решения надо обязательно написать, при каком допущении Вы решали. ТОЛЬКО две одинаковые или просто две одинаковые, и могут быть ещё две одинаковые.

и почему вот, например:
"Номеров, в которых будут одинаковы 3и цифры: 4*9*9 = 324"
ведь цифр 10?

Во-первых, зачеркнутое - неверно. Из 3 лидеров выбирают 3 (или 0)
а где ещё количество выбора остальных 2 (или 5) команд? из 7 не лидеров?
(чужие задачки лучше решаете (IMG:style_emoticons/default/smile.gif))

а вообще, непонятно, зачем переходить к противоположному? От этого только удлиняется решение.. ещё от 1 отнимать...(IMG:style_emoticons/default/smile.gif)


если требуют просто дисперсию - воспользуйтесь формулой для дисперсии гипергеометрического закона распределения.

Если составлять закон распределения - то чем эта задача хуже задачи про команды-лидеры? девушек в группе? чужой решенной вами?

Попытка №2 (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)
Всего вариантов разделения на 2 группы по 5ть команд: С(5из10)
Вариантов выбора 3ёх лидеров из 3ёх человек: С(3из3)
Вариантов выбора 2ух человек к 3ём лидерам: С(2из7)
Р=С(2из7)*С(3из3)/С(5из10)=0,08..
надо учитывать что 3лидера могли оказаться как в первой пятёрке так и во второй? Умножаем на 2 выходит?



С рядом распределения хочу попытаться сделать. Гипергеометрического закона распределения не проходили, но обязательно про него почитаю. А пока пользуемся тем, что есть в "арсенале".

Вероятность того, что выбранные ТВ будут с дефектами С(5из7)/С(5из20) = 0,00136
p=0,00136
q=0.99864

Ряд распределения:
0 | 0.9932
1 | 0.00676
2 | 0.0000018421
3 | 0.000000000034117

Похоже налажал где-то...
Использовал формулу Бернули, но вероятность же от одного испытания к другому меняется.. надо как-то по-другому искать вероятности..
Может для Х1 будет С(1из7)С(5из20)
для Х2 С(2из6)/(4из 19) и т. д?