Очень нужна идея! (IMG:style_emoticons/default/rolleyes.gif)
Равнобедренная трапеция ABCD, PQ||AD, SAPQD/SPBCQ=1/2. найти: PQ.
Ответ: корень((2^2+b^2)/3) или корень((a^2+2b^2)/3)

Во-первых, будьте внимательны при переписывании задания. Как я понял, BC и AD - основания трапеции, длины которых известны ( a и b ).



В общем, достроили трапецию ABCD до треугольника.
Далее обозначим
SKBC =S, SPBCQ = S1, SAPQD = S2.

Из подобия треугольников PKQ и AKD следует, что
(S1+S)/(S+S1+S2) = (PQ/AD)^2.
Разделив числитель и знаменатель левой части на S1, получим
(1+(S/S1))/((S/S1)+1+(S2/S1)) = (PQ/AD)^2. (1)

По условию, S2/S1 = 1/2.
Для нахождения S/S1 воспользуемся подобием треугольников KBC и KPQ:
(S+S1)/S = (PQ/BC)^2, S/S1 = BC^2/(PQ^2 - BC^2). (2)

Далее, из совокупности равенств (1) и (2) с учетом того, что AD и BC нам известны, находим PQ. (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

PS.
Несмотря на кажущуюся громоздкость, полученное уравнение решается самым что ни на есть элементарным образом.