Дано дифференциальное уравнение:

y'''=1-(y')^2

Здесь нужно понижать порядок. Заменила y'=P, y"=P', y'''=P''

Получается уравнение: P"=1-P^2

Дальше интегрируем это выражение и получаем, что P'=[P-(P^3)/3+C]

Теперь интегрируем последнее выражение и получаем P=(1/12)*[(6*P^2)-(P^4)+(12*P*C]

А каким образом теперь перейти к y и дорешать это уравнение? Или это нужно было как-то по другому решать?
Никак не разберусь с ним для сдачи зачета.

Нельзя так интегрировать! У Вас слева стоит dP'/dx, а справа - выражение,в котором P зависит только от икса.