Помогите, пожалуйста, разобраться с вычислением объема, ограниченного поверхностями
x^2/9 + y^2/4 - z^2=1, z=0, z=3.
просмотрела многие вроде как похожие задания в форуме. Я так поняла, чтобы найти пределы интегрирования по х и по у, надо спроектировать на плоскость ХОУ, получается два эллипса. К тому же, можно искать не весь объем, а только четверть, а затем полученное значение умножить на 4.
Проверьте, пожалуйста, правильность нахождения пределов интегрирования, я очень в них сомневаюсь.
 Интеграл.doc ( 35.5 килобайт ) Кол-во скачиваний: 283

(IMG:http://i026.radikal.ru/0910/ec/d2887ad0b031t.jpg)

Можно так сделать, разделить объём данного тела разделить на 2.
Т.к. ищем объём в первой октанте, то потом умножим на 4.
Пределы для первого
0=<x=<3
0=<y=<4*Sqrt[1-x^2/9]

Для второго
3=<x=<3*Sqrt[10]
4*Sqrt[1-x^2/9]=<y=<4*Sqrt[10-x^2/9]

Vтела=4*(V1+V2)

Извиняюсь, по z не написал, для первого 0=<z=<3, для второго Sqrt[x^2/9+y^2-1]=<z=<3

Я поняла, как разбить данное тело. Но мне, кажется, есть ошибка в пределах интегрирования по у.
Должно быть 2√(1-x^2/9), а не 4√(1-x^2/9). Или я ошибаюсь?
Первый объем ищется достаточно просто, но вот второй, мне кажется совсем "убойным". Я его вычислить не смогла.
Может лучше перейти к цилиндрической СК. Я попробовала, но у меня опять проблемы с пределами интегрирования, я не совсем понимаю этот переход.
Подскажите, пожалуйста.

И все- таки, как насчет цилиндрической СК? Потому что второй интеграл, мне показалось, вычислить невозможно.
Может, я как-то не так вычисляю? Если надо, могу показать свое решение.Там просто тихий ужас.

Посмотрите, пожалуйста, вычисление интерграла. Можно ли довести вычисления до конца или там, что то не так?

z изменяется вроде от 0 до 3

Ярослав_ вроде как предложил разбить тело на две части: цилиндр, в основании которого лежит эллипс, и второая часть: то что осталось от гиперболоида.
Для первого объема z меняется от 0 до 3 (Этот интеграл я вычислила),
а для второго - так как записано у меня в прикрепленном файле.
Или все-таки совет неправильный?

Я вконец запуталась, как же вычислить объем данной фигуры???

в цилиндрической СК, x=rcos f, y=rsin f, z=z, dxdydz=df rdr dz

V1=int (df, f=0..2Pi) int (rdr, r=r1..r2 ) int (dz, z=0..3) =162Pi -объем между телом и внешним "цилиндром

V2=int (df, f=0..2Pi) int (rdr, r=0..r2 ) int (dz, z=0..3) =180Pi объем внешнего "цилиндра"

V=V2-V1=18Pi - искомый объем

где
r1=2/sqrt(1-(5/9)(cos f)^2)
r1=2sqrt(10)/sqrt(1-(5/9)(cos f)^2)

C пределами интегрирования в цилиндрической СК разобралась. Спасибо. Но стала вычислять сначала V2, у меня вообще не получается такой ответ. У меня в ответе 0 почему то. Посмотрите решение, где ошибка?

Пожалуйста, проверьте вычисление интеграла, считала уже неоднократно, получается одно и то же 0.
Где ошибка, понять не могу.

интеграл посчитали неверно. Не нужно переходить к косинусу двойного угла. Нужно использовать подстановку tgx=t, (cosx)^2=1/(1+t^2), dx=dt/(1+t^2)


V2=int (df, f=0..2Pi) int (rdr, r=0..r2 ) int (dz, z=0..3) =
=4*int (df, f=0..Pi/2) int (rdr, r=0..r2 ) int (dz, z=0..3) =180Pi

На самом деле, мне кажется без разницы как считать сам интеграл. Я его так и считала. Но, конечно, если сразу сделать такую замену, получается короче.
Но проблема в пределах интегрирования. Ведь если fi меняется от 0 до 2pi, до t=tgfi должно меняться в каких пределах?

А если fi меняется от 0 до pi/2, то мне что-то все равно непонятно в каких пределах должно меняться t, ведь tg(pi/2) неопределен?

t=0... бесконечности, тогда arctg (беск)=Pi/2 и arctg(0)=0

Может надо переходить к пределу и брать интеграл от неограниченной функции.

Как угодно. В данном случае интеграл получается несобственный с ответом в 180Pi.

Ура! У меня вроде все получилось, и 180pi и 162pi. Огромное спасибо.
Проверьте, пожалуйста, на всякий случай один из них.