До последнего времени считал, что аналогом ортогональной вещественной матричной группы О(n,R),сохраняющей скалярное произведение,является унитарная комплексная матричная группа U(n,C), действующая уже в соответствующем комплексном пространстве и тоже сохраняющая скалярное произведение. Но вот обнаружил в книге "Современные геометрические структуры и поля",2005г,авторы С.П.Новиков,И.А.Тайманов в параграфе 6.1 под названием "Группы и алгебры Ли" на стр.175, используя условие ортогональности $A^TA=1$ для вещественных матричных групп,авторы применяют его теперь уже к комплексным матричным группам и таким образом определяют ортогональную комплексную матричную группу O(n,C) и при этом на стр.191,в пункте 6 "Комплексные группы Ли",утверждают, что группа O(n,C) тоже сохраняет скалярное произведение в пространстве $C^n$. Как такое может быть? Ведь в комплексном пространстве сохраняет скалярное произведение, по определению, только унитарные группы, удовлетворяющие условию $A^+A=1$. В чём здесь тонкости?

Читайте внимательнее:

Если матрица A вещественная и при этом ортогональная, то она в частности и унитарная. Иначе говоря, группа унитарных матриц содержит в каяестве подгруппы группу ортогональных.

Я прежде всего говорил о комплексных матрицах, в пространстве комплексных матриц авторами, упомянутой книги, вводится понятие ортогональных комплексных матриц, используя условие ортогональности как и для случая вещественных. И самое главное утверждается то, что комлексная группа O(n,C) ортогональных преобразований комлексного n-мерного пространства сохраняет в нём скалярное произведение комплексных n-мерных векторов?! Как такое может быть, если из определения унитарных преобразований комплексного n-мерного пространства следует, что только они именно унитарные преобразования комплексного n-мерного пространства (комплексная группа U(n,C)) сохраняют скалярное произведение комплексных n-мерных векторов! И уже из этого определения выводится условие унитарности для матриц комплексной группы U(n,C)!