Члены ряда определены для всех х, т.к. lim sqrt |Un|^(1/n)= lim sqrt|(x-2)/((3n+1)^1/n)*2=|(x-2)/2|, ряж сходится абсолютно при |(x-2)/2|<1

Решаем систему (х-2)/2<1, (х-2)/2>-1 Получаем, что ряд сходится абсолютно при х<4 или x>0
Аналзируем на концах, при х=4получим ряд lim 1/(3n+1)=0<1 следовательно сходится, при х =0 получим lim (-1)/(3n+1)=0<1 следовательно сходится. Значит область сходимости (0;4). Что-то не уверена в решении.

Очень прошу проверьте пожалуйста, нужно уже сдавать, а уверенности в решении нет.

И правильно,что нет.

Из |(x-2)/2|<1 следует 0<x<4

Проверка на концах: Из того, что общий член ряда стремится к 0 не следут, что ряд сходится.
При х=0 ряд сходится (знакочередующийся, признак Лейбница), а при х=4 - расходится (сравнить с рядом 1/n)

Да вчера при перерешивании примера пришла к тому же выводу, сравнила именно с 1/n и получила расходящийся ряд. И получила область [0;4). Спасибо за поправку.