добрый день!
что-то я решала-решала и дорешалась...
где ошибка - не найду
y'=p
p'-2p=2x+1
p=uv, p'=u'v+uv'
u'v+uv'-2uv=2x+1
u'v+u*(v'-2v)=2x+1
v'-2v=0
dv/dx=2v
ln(v)=2x
v=e^(2x)
u'*e^(2x)+u*(2e^(2x)-2e^(2x))=2x+1
u'*e^(2x)=2x+1
du/dx=(2x+1)*e^(-2x)
u=int (2x+1)*e(-2x)dx
вычисляя интеграл по частям, получаю
u=-(x+1)*e^(-2x)+C1 { C1 - функция от x }
p=(-(x+1)*e^(-2x)+C1)*e^(2x)=C1*e^(2x)-x-1
p'=C1'*e^(2x)+2*C1*e^(2x)-1
теперь подставляю в уравнение p'-2p=2x+1
C1'*e^(2x)+2*C1*e^(2x)-1-2*(C1*e^(2x)-x-1)=2x+1
C1'*e^(2x)+2x+1=2x+1
отсюда получается С1=0, но этого не может быть, т.к. С1 должна зависеть от x

буду очень благодарна тому, кто покажет, где я стратила

почему?C1 вроде как константой должна быть?!

С1=0*х. Так пойдет?

я сначала так и решала, только после того как затормозила, предположила, что С1 - функция
сначала нашла p и p' :
p=C1*e^(2x)-x-1
p'=2*C1*e^(2x)-1
вот эти результаты подставляла в уравнение p'-2p=2x+1 и получила С1=(-x-1)/(1-2*e^(2x))

или нужно просто найти y?
тогда
y'=p=C1*e^(2x)-x-1
y=int (C1*e^(2x)-x-1) dx
y=(1/2)*C1*e^(2x)-(x^2)/2-x+C2
y(0)=C1/2+C2
y'(0)=C1-1
отсюда C1=2, C2=0
и y=e^(2x)-(x^2)/2-x

по-моему так...

Это вы с методом Лагранжа не путаете?

может быть, путаю...
но, подставив найденную функцию в исходное уравнение, я получила тождество