Вообще это номер из Кузнецова по Интегралам вариант 11. Графики построила. Получились 2 параболы. У одной вершина (-1,0) ветви параболы направлены вверх, у второй вершина та же (-1,0) ветви направлены вдоль положительной оси х. 2 Точки пересечения
А(-1,0) и В(0,1). Иду таким путем, что имею две функции выраженные через у, это y=(x+1)^2 и |y|=sqrt(x+1). Далее пытаюсь понять какая функция ниже, какая выше, и не могу получить однозначного ответа, т.к. из-за этого модуля 2-я функция то выше ,то ниже. Ну ладно, пусть так, тогда вычисляю площадь, и как бы я ни вычисляла площадь, все равно получаю отрицательное значение. Т.е. S=int(sqrt(x+1)-(x+1)^2)dx Нижний предел -1 верхний 0.
Далее берем интеграл и получаем S=2*sqrt(x+1)/3-(x^3)/3-(x^2)-x. Затем подставляя 0 и -1. Всегда имеем минус 1 в ответе. Не пойму с какого места делаю неправильно. Пожалуйста помогите. В типовике решила все кроме этого номера. Нужно уже сдавать, а я не пойму как делать.

int(-1;0){sqrt(x+1)-(x+1)^2}dx=int(-1;0){(x+1)^(1/2)d(x+1)}-int(-1;0){(x+1)^2d(x+1)}=(2/3)*(x+1)^(3/2)|_{-1}^0-(1/3)*(x+1)^3|_{-1}^0=2/3-1/3=1/3

Решать можно 2-мя способами: первый уже указан, второй - двойным интегралом.

Да спасибо, я поняла ход решения. Нужно было просто не возводить x+1 в квадрат. Перестаралась малость. Огромная благодарность. Другим способом через двойной интеграл решить не могу, т.к эту тему еще даже не проходили.Спасибо, очень помогли.