Девушка попросила помочь с решением дифференциального уравнения, а я первое высшее (менеджмент) в 2003 году получил, и второе (экономика) в 2006 и все уже почти забыл. Производные и интегралы ей прорешал, а дифференциальные уравнения к своему стыду не помню. Расскажите, пожалуйста, как такие задачи решаются???

Найти общее решение дифференциального уравнения: a(x)y'+b(x)y=F(x) и частное решение, удовлетворяющее начальному условию: y=y0 при x=x0, y'-ySinx=e (в степени -Cosx)*Sin2x, y0=3, x0=П/2

1) Сначала решаем однородное уравнение
y' - y * sin x = 0
dy/dx = y * sin x
dy/y = sin x dx
int dy/y = int sin x dx
ln |y| = -cos x + C
y = C * e^(-cos x)
2) Решаем неоднородное уравнение
y' - y * sin x = e^(-cos x) * sin 2x, y = C(x) * e^(-cos x) =>
=> y' = C'(x) * e^(-cos x) + C(x) * e^(-cos x) * sin x
Подставляем в уравнение
C'(x) * e^(-cos x) + C(x) * e^(-cos x) * sin x - С(x) * e^(-cos x) * sin x = e^(-cos x) * sin 2x
C'(x) * e^(-cos x) = e^(-cos x) * sin 2x
C'(x) = sin 2x => C(x) = int sin 2x dx = -1/2 * cos 2x + C
Тогда y = (-1/2 * cos 2x + C) * e^(-cos x) - общее решение.
Найдем частное: y(pi/2) = 3 => 3 = (-1/2 * cos pi + C) * e^(-cos pi/2) => 3 = C + 1/2
C = 5/2.
Частное: y = (-1/2 * cos 2x + 5/2) * e^(-cos x)

Спасибо Вам огромное!!! Сейчас сам разберусь и пойду объяснять...