Пожалуйста? помогите решить ду
X'' + x * w^2 = Asin(ut)
x(t=0) = B
x'(t=0) = 0

Универ закончил сто лет назад ничего не помню!

вроде sin - подходит, но sin(0) == 0

Здраствуйте. Разрешите скромно помочь в решении данного дифференциального уравнения.
X'' + X * w^2 = Asin(ut)
X(t=0) = B
X'(t=0) = 0

Данное уравнение является дифференциальным уравнением второго порядка с квазимногочленом. Существуют правила решения подобных уравнений. Я напишу решение данного уравнения, а если появятся какие-то вопросы по ходу его решения, залавайте, я на них с удовольствием отвечу.

w, u, A и B - это константы.

Сначала решим однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному. Оно имеет следующий вид:

X'' + X * w^2 = 0.
Составляем характеристическое уравнение, соответствующее данному однородному уравнению. (В литературе встречается греческая буква "лямбда", в силу некоторых ограничений компьютера, я вместо лямбды буду писать букву a.)

Тогда характеристическое уравнние имеет вид:
a^2 + w^2 = 0
a^2 = - w^2
a = - iw и a = iw (комплексные числа)

Тогда решение однородного уравнения имеет вид:
X1 = C * cos(wt) + D * sin(wt), где C и D - константы.

Найдем частное решение исходного неоднородного уравнения. Оно имеет вид:
X2 = E * cos(ut) + F * sin(ut), где E и F - константы.
Определим константы E и F. Для этого подставим частное решение X2 в исходное неоднородное уравнение.
Сначала посчитаем (X2)'' (чтобы подставлять в неоднородное уравнение).
(X2)' = - Eu * sin(ut) + Fu * cos(ut)
(X2)'' = -E * u^2 * cos(ut) - F * u^2 * sin(ut)

А теперь подставляем X2 в неоднородное уравнение для определения констант E и F
(X2)'' + X2 * w^2 = Asin(ut) (хочу подчеркнуть что X1 и X2 - это X, где 1 и 2 - маленькие числа, индексы)
- E * u^2 * cos(ut) - F * u^2 * sin(ut) + E * w^2 * cos(ut) + F * w^2 * sin(ut) = Asin(ut)
В силу линейной независимости функций косинуса и синуса приравниваем константы при синусе слева к константам при синусе справа и приравниваем константы при косинусе слева к константам при косинусе справа (справа при косинусе как бы стоит нуль). Получаем

- E * u^2 + E * w^2 = 0
- F * u^2 + F * w^2 = A

то есть

E * (w^2 - u^2) = 0
F * (w^2 - u^2) = A

В итоге получаем, что E = 0 и F = A/(w^2 - u^2). В Результате частное решение имеет вид

X2 = sin(ut) * A/(w^2 - u^2)

Решение неоднородного уравнения складывается из общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного, то есть

X = X1 + X2
X = C * cos(wt) + D * sin(wt) + sin(ut) * A/(w^2 - u^2)

Осталось лишь определить константы C и D.
У нас имеется два условия.
Первое условие X(t=0) = B
X(t=0) = C
Таким образом, C = B и

X = В * cos(wt) + D * sin(wt) + sin(ut) * A/(w^2 - u^2)

Второе условие X'(t=0) = 0
X' = - Вw * sin(wt) + Dw * cos(wt) + cos(ut) * Au/(w^2 - u^2)
Тогда X'(t=0) = Dw + Au/(w^2 - u^2)
Dw + Au/(w^2 - u^2) = 0

D= - Au / w(w^2 - u^2)
Таким образом,

X = В * cos(wt) - sin (wt) * Au / w(w^2 - u^2) + sin(ut) * A/(w^2 - u^2) - это и есть ответ