Помогите пожалуйста, найти интервал сходимости
a(n)=(3^-(n^1/2))/(n^2+1)^1/2
нахожу a(n+1)=(3^-(n+1)^1/2))/(n^2+2n+2)^1/2
R=1*lim (3^-(n^1/2))/3^-(n+1)^1/2...как мне дальше находить предел?

Формулу ряда напишите, а то не видно переменной x в выражении.

((3^-(n^1/2))/(n^2+1)^1/2)*X^n

По признаку Даламбера (полагая, что x=const)

Un=((3^-(n^1/2))/(n^2+1)^1/2)*X^n
Un+1=((3^-((n+1)^1/2))/(n^2+2n+2)^1/2)*X^n

|Un+1/Un|=|X*3^(sqrt(n)-sqrt(n+1))*sqrt( (n^2+1)/(n^2+2n+2) )|=|x*1|=|x|<1, x=(-1...1)

Дальше исследуйте поведение ряда в точках x=-1, x=1 и выясните, ключать ли эти точки в интервал сходимости.



p.s. думаю, что предел X*[3^(sqrt(n)-sqrt(n+1))]*[sqrt( (n^2+1)/(n^2+2n+2) )]=X*[1]*[1]=X*1=X вы сами вычислите.

Это понятно,спасибо.Но у меня проблема в том,что я как раз не могу вычислить именно этот предел:3^(sqrt(n)-sqrt(n+1))]. Поясните, пожалуйста, почему он равен 1 ?

Здесь нужно вычислить предел выражения, находящегося в степени тройки. Для этого нужно умножить и разделить на [sqrt(n)+sqrt(n+1)], т.е. на сопряженный числитель. Затем, свернуть числитель как разность квадратов, и n в числителе уберётся.


3^lim (sqrt(n)-sqrt(n+1)) =3^[ lim {[sqrt(n)-sqrt(n+1)] [sqrt(n)+sqrt(n+1)]/(sqrt(n)+sqrt(n+1))}]=3^[ lim {(n-(n+1))/(sqrt(n)+sqrt(n+1))}]=3^[lim -1/{sqrt(n)+sqrt(n+1)}]=3^[-1/беск]=3^0=1

естественно везде n стремиться к беск.

при исследовании включаемости x= -1, получаем знакочередующийся ряд.Нужно использовать теор.Лейбница?Но тогда,исследуя убывает ли модули членов ряда, получается 1 же. Т.е. нельзя использовать эту теорему?

помогите пож-та, правильно ли я решила пример:
Найти область сходимости степ. ряда: Сумма (n=0 до бесконечности)n!*x^n.

Здесь радиус сходимости R=0.
При x=0 как такового ряда не существует.
Получается, что ряд расходится на всей числовой оси?

Вот что нашла в умной книге: если R=0, то степенной ряд расходится при любом значении х, кроме х=0.

но ведь внутри интервала концы интервала тоже надо проверять на сходимость...
И если x=0 подставить в наш ряд, то получим 0!*0^0+0, первое слагаемое неопределено , а дальше нули идут...
Так что, получается, что такой ряд сходится?

а почему первое слагаемое неопределенно?

Спасибо, я понял как решать

Разве 0^0 чему-то равно?

Да, вы совершенно правы, ряд расходится на всей числовой оси (или плоскости, если вы работаете в комплексной плоскости). Вы так же правы - 0^0 неопределенное число. Но, как наверное сказано в большенстве учебниках по математике, при иследовании степенных рядов, мы принимаем следующею конвенцию: (х - а)^0 = 1 при любом выборе х и а. А если вас это всё равно не устраевает, то вы можете рассмотреть свой ряд с пределами n = 1, n = oo. Радиус сходимости ряда не меняется при исключении конечного числа терминов из ряда.