Помогите, пожалуйста, решить два задания:
1) Найти объем тела, ограниченного поверхностями
x^2 + y^2 = 6 * x, x^2 + y^2 = 9 * x, z = (x^2 + y^2)^(1/2), z = 0, y = 0 (y <= 0)
2) Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой:
x^6 = a^2 * (x^4 - y^4)

1) x^2 + y^2 = 6 * x, x^2 + y^2 = 9 * x, z = (x^2 + y^2)^(1/2), z = 0, y = 0 (y <= 0)
Переходим к цилиндрическим координатам
x = r * cos fi, y = r * sin fi, z = z.
0 <= z <= (x^2 + y^2)^(1/2) => 0 <= z <= r.
Областью интегрирования по fi и r будет
6 * x <= x^2 + y^2 <= 9 * x, y <= 0.
6 * r * cos fi <= r^2 <= 9 * r * cos fi, r * sin fi <= 0
6 * cos fi <= r <= 9 * cos fi, sin fi <= 0.
Так как 0 <= r <= 9 * cos fi => cos fi >= 0
Получаем, что cos fi >= 0, sin fi <= 0 => -pi/2 <= fi <= 0.
Тогда
V = int (-pi/2 0) dfi int (6 * cos fi 9 * cos fi) r dr int (0 r) dz =
= int (-pi/2 0) dfi int (6 * cos fi 9 * cos fi) r dr (z)_{0}^{r} =
= int (-pi/2 0) dfi int (6 * cos fi 9 * cos fi) r * r dr =
= int (-pi/2 0) dfi int (6 * cos fi 9 * cos fi) r ^2 dr =
= int (-pi/2 0) dfi (1/3 * r^3)_{6 * cos fi}^{9 * cos fi} =
= int (-pi/2 0) dfi (1/3 * (9 * cos fi)^3 - 1/3 * (6 * cos fi)^3) =
= int (-pi/2 0) dfi (1/3 * 9^3 * cos^3 fi - 1/3 * 6^3 * cos^3 fi) =
= int (-pi/2 0) (1/3 * 9 * 9 * 9 * cos^3 fi - 1/3 * 6 * 6 * 6 * cos^3 fi) dfi =
= int (-pi/2 0) (243 * cos^3 fi - 72 * cos^3 fi) dfi =
= int (-pi/2 0) 171 * cos^3 fi dfi = 171 * int (-pi/2 0) cos^3 fi dfi =
= 171 * int (-pi/2 0) cos^2 fi * cos fi dfi = 171 * int (-pi/2 0) cos^2 fi d(sin fi) =
= 171 * int (-pi/2 0) (1 - sin^2 fi) d(sin fi) = | sin fi = t | =
= 171 * int (-1 0) (1 - t^2) dt = 171 * (t - 1/3 * t^3)_{-1}^{0} =
= 171 * ((0 - 1/3 * 0^3) - (-1 - 1/3 * (-1)^3)) = 171 * (1 - 1/3) = 171 * 2/3 = 114
Ответ: V = 114.
2) x^6 = a^2 * (x^4 - y^4)
Переходим к полярным координатам: x = r * cos fi, y = r * sin fi.
r^6 * cos^6 fi = a^2 * (r^4 * cos^4 fi - r^4 * sin^4 fi)
r^6 * cos^6 fi = a^2 * r^4 * (cos^4 fi - sin^4 fi)
r^2 * cos^6 fi = a^2 * (cos^2 fi - sin^2 fi) * (cos^2 fi + sin^2 fi)
r^2 * cos^6 fi = a^2 * (cos^2 fi - sin^2 fi)
r^2 = a^2 * (cos^2 fi - sin^2 fi)/cos^6 fi
r^2 >= 0 => cos^2 fi - sin^2 fi >= 0 => cos 2fi >= 0 =>
Так как линия симметрична относите
-pi/2 + 2 * pi * n <= 2fi <= pi/2 + 2 * pi * n
-pi/4 + pi * n <= fi <= pi/4 + pi * n
fi [-pi/4;pi/4] [3 * pi/4; 5 * pi/4]
Так как кривая симметрична относительно х и у, то
S = 2 * int (-pi/4 pi/4) dfi int (0 r_0) r dr =
= 2 * int (-pi/4 pi/4) dfi (1/2 * r^2)_{0}^{r_0} =
= 2 * int (-pi/4 pi/4) (r_0)^2 dfi =
= 2 * int (-pi/4 pi/4) a^2 * (cos^2 fi - sin^2 fi)/cos^6 fi dfi
int (cos^2 x - sin^2 x)/cos^6 x dx = int (cos^2 x - (1 - cos^2 x))/cos^6 x dx =
= int (2 * cos^2 x - 1)/cos^6 x dx = int (2/cos^4 x - 1/cos^6 x) dx =
= int (2/cos^2 x - 1/cos^4 x) * 1/cos^2 x dx =
= int (2 * 1/cos^2 x - (1/cos^2 x)^2) d(tg x) =
= int (2 * (tg^2 x + 1) - (tg^2 x + 1)^2) d(tg x) = | tg x = t | =
= int (2 * (t^2 + 1) - (t^2 + 1)^2) dt = int (2 * t^2 + 2 - t^4 - 2 * t^2 - 1) dt =
= int (-t^4 + 1) dt = -1/5 * t^5 + t + C = | t = tg x | =
= -1/5 * tg^5 x + tg x + C
Тогда
S = 2 * a^2 * (-1/5 * tg^5 x + tg x)_{-pi/4}^{pi/4} =
= 2 * a^2 * ((-1/5 * tg^5 (pi/4) + tg (pi/4)) - (-1/5 * tg^5 (-pi/4) + tg (-pi/4))) =
= 2 * a^2 * ((-1/5 * 1 + 1) - (-1/5 * (-1) - 1)) =
= 2 * a^2 * (-1/5 + 1 - 1/5 + 1) = 2 * a^2 * (2 - 2/5) = 2 * a^2 * (10/5 - 2/5) =
= 2 * a^2 * 8/5 = 16/5 * a^2
Ответ: S = 16/5 * a^2.

Спасибо большое (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)