Помогите, пожалуйста, вычислить площадь фигуры, ограниченной линией
a^2 * y^2 = x^2 * (a^2 - x^2)
Заранее спасибо!!

a^2 * y^2 = x^2 * (a^2 - x^2)
Так как эта кривая симметрична относительно оси Oy
(при замене х на -х уравнение не меняется)
Поэтому можно найти площади фигуры при x >= 0, а затем умножить ее на 2.
Переходим к полярным координатам:
x = r * cos fi, y = r * sin fi
a^2 * r^2 * sin^2 fi = r^2 * cos^2 fi * (a^2 - r^2 * cos^2 fi)
a^2 * tg^2 fi = a^2 - r^2 * cos^2 fi
r^2 * cos^2 fi = a^2 - a^2 * tg^2 fi
r^2 = a^2 * (1 - tg^2 fi)/cos^2 fi
Так как r^2 >= 0 => 1 - tg^2 fi >= 0 => tg^2 fi <= 1
Так как x >= 0 => r * cos fi >= 0 => cos fi >= 0
tg^2 fi <= 1 => -1 <= tg fi <= 1, cos fi >= 0 => -pi/4 <= fi <= pi/4.
Получаем, что
S = 2 * 1/2 * int (-pi/4 pi/4) r^2 dfi = int (-pi/4 pi/4) a^2 * (1 - tg^2 fi)/cos^2 fi dfi =
= a^2 * int (-pi/4 pi/4) (1 - tg^2 fi) d(tg fi) = | tg fi = t | =
= a^2 * int (-1 1) (1 - t^2) dt = a^2 * (t - 1/3 * t^3)_{-1}^{1} =
= a^2 * ((1 - 1/3 * 1^3) - (-1 - 1/3 * (-1)^3)) =
= a^2 * ((1 - 1/3) - (-1 + 1/3)) = a^2 * (2/3 + 2/3) = 4/3 * a^2
Ответ: S = 4/3 * a^2.

Спасибо большое (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)