Здраствуйте. Уже некоторое время пытаюсь тщетно решить следующую задачу - найти действительную и мнимую части функции w = z^(-1).
Вроде бы, все очевидно - представляем наши исходные данные в виде w = u+iv, z = x+iy, затем, приравнивая действительную и мнимую части в левой и правой частях равенства, получаем явную зависимость u = u(x,y), v = v(x,y). Однако на практике "z в минус первой степени" вызывает у меня некоторые затруднения - собственно:

w = z^(-1)
w = u+iv, z = x+iy
u+iv = (x+iy)^(-1)
u+iv = 1/(x+iy)
(u+iv)(x+iy) = 1
ux + yui + xvi - yv - 1 =0
Выразить отсюда u и v через x и y у меня, к сожалению, не выходит...Возможно, где-то допущена досадная ошибка...Честно говоря, вообще не представляю - задача должна решаться достаточно легко, никакие дополнительные знания по ТФКП не требуются. Аналогичные задачи без "-1 степени" сделал без затруднений. Буду благодарен за помощь.

А если записать, что w = 1/z? Или это не то?

1/z=1/(x+yi)=(x-yi)/(x^2+y^2)=x/|z|-yi/|z|
Ну за точность не ручаюсь, но по-моему так. Действительная часть равна x/|z|
Мнимая часть yi/|z|
Не подойдет? (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

мнимая часть - это все что стоит возле i без самого i.

tig81, нужно было именно явно выразить вещественную и мнимую части функции w через вещественную и мнимую части z.

Ярославвв, спасибо, как раз то, что надо! Еще не привык к использованию комплексных чисел, поэтому идея о разложении суммы квадратов x^2 + y^2 = (x-iy)(x+iy) мне в голову не пришла. Только, насколько я понимаю, вещественная и мнимая части w будут равны x/(x^2 + y^2) и (-y)/(x^2 + y^2) соответственно - а у Вас в знаменателе указан |z|, который не равен (x^2 + y^2), если я верно вычислил (IMG:style_emoticons/default/blush.gif)

|z|=\sqrt(x^2+y^2)
Ну немножко ошибся, поторопился. Извиняйте. (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)
Я просто умножил на комплексно-сопряженное число.

Ну я вам подала идею, а вы уж дальше должны как-то сами.
А что вы знаете про модуль комплексного числа? Т.К. |z|^2 = |x+iy|^2 =x^2 + y^2.

насколько я понимаю, эта формула использовалась в обратном порядке: (x-iy)(x+iy)=x^2 + y^2

Lister, Надо отдать должное tig81, нас натолкнули на решение, после w=1/z. (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

вас сильно наталкивать не надо, только так легонечко. (IMG:style_emoticons/default/thumbsup.gif)

Еще раз всем спасибо, у меня была мысль воспользоваться равенством w = 1/z, однако я почему-то не придал этому особого значения - оказалось, зря (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) Теперь вижу, что в комплексном анализе уделять внимание таким, казалось бы, "мелочам", очень важно.

да и не только в комплексном анализе таким "мелочам" важно уделять вниманние.

Еще один вопрос - надеюсь, можно задать в этом топике - при решении задачи о восстановлении функции по ее вещественной части с помощью условий Коши-Римана получил интеграл (кстати, по счастливому совпадению, искомая функция - как раз та, задача о нахождении которой была рассмотрена выше):

INT ( (y^2 - x^2) / (y^2 + x^2)^2 ) dy

Ответ, собственно, уже известен - первообразная будет равна (-y)/(y^2 + x^2).

Но все-таки хочется решить задачу самостоятельно - почему-то при взятии интеграла методом неопределенных коэффициентов возникают трудности, я делал так:

( (y^2 - x^2) / (y^2 + x^2)^2 ) = (A*y+(IMG:style_emoticons/default/cool.gif)(y^2 + x^2) + (C*y+D)/((y^2 + x^2)^2)

Получаем A*y + B + C*y^3 + C*y*x^2 + D*y^2 + D*x^2 = y^2 - x^2
Отсюда B = -2x^2, D = 1, искомый интеграл преобразовывается как

INT ( (y^2 - x^2) / (y^2 + x^2)^2 ) dy = INT (-2x^2)/(y^2 + x^2) dy + INT (1/(y^2 + x^2)^2) dy

Проверил - разложение верно, однако сомневаюсь, что здесь нужно действовать именно так. Мне почему-то кажется, что для взятия нашего интеграла существует гораздо более изящный метод, который я упустил из вида. Буду благодарен, если кто-нибудь сможет его указать (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Попробуйте заменой переменных y=x*tgt
Но проще это или нет сказать не могу