Прошу помочь сравнить разность двух логарифмов с нулём:
log(7,8) - log(6,7)
Дело в том, что при приведении к различным основаниям ничего не получается. Приходится сравнивать, опять же, два слагаемых, которые отличаются на незначительную величину. Пробовал что-то через пределы делать, нечто вроде lim(log(n, n+1)) - тут тоже ничего. Как это можно сравнить?

log(7,8) - log(6,7) и 0

log(7,8/6,7) и log1

78/67 и 1

78/67 и 67/67

78>67, тогда

log(7,8) - log(6,7) >0

Dimka: ты неправильно меня понял. Перед запятой - основание, после - аргумент, т.е. log(7)8 и log(6)7.

Можно так.
Исследуем на монотонность функцию
f(x)=log(x,x+1)
на интервале, скажем, (5,+00)
Легко найти, что f'(x) < 0 на этом интервале.
Вывод: ....

Для вычисления производной лучше представить:

f(x)=ln(x+1)/ln(x).

venja: Спасибо, возьму на заметку. А я тут придумал другой способ.
log(7)8-log(6)7;
обозначим x=log(7)8-1=log(7)8\7 > 0
и y=1-log(7)6=log(7)7\6 > 0
Тогда:
log(7)8 - log(6)7=log(7)8 - 1\log(7)6;
Получаем:
(x+1) - 1\(1- y);
((x+1)(1- y) - 1)\(1- y);
1-y > 0, рассматриваем числитель:
(x+1)(1- y)-1=x-xy+1-y-1= x- xy-y;
x,y > 0 => xy>0 => -xy < 0;
Рассмотрим x-y:
x-y = log(7)8\7-log(7)7\6 = log(7)48\49 < 0
Получаем:
xy<0
x-y < 0 => x-xy-y <0
Выражение меньше нуля.